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计算曲线积分
$oint_{L}frac{ydx-xdy}{2(x^2+y^2)},$

∮L​2(x2+y2)ydx−xdy​,其中
$L$

L为圆周
$(x-1)^2+y^2=2,L$

(x−1)2+y2=2,L的方向为逆方向.

解：在
$L$

L所围成的区域内的点
$(0,0)$

(0,0)处,函数
$P(x,y),Q(x,y)$

P(x,y),Q(x,y)均无意义.现取
$r$

r为适当小的正数,使圆周
$l$

l(取逆时针方向):
$x=rcost,y=rsint$

x=rcost,y=rsint(
$t$

t从
$0$

0变到
$2pi$

2π)位于
$L$

L所围成的区域内,则在由
$L$

L和
$l^-$

l−所围成的复连通区域
$D$

D上,可应用格林公式,在
$D$

D上有

$frac{partial Q}{partial x}=frac{x^2-y^2}{2(x^2+y^2)^2}=frac{partial P}{partial y},$

∂x∂Q​=2(x2+y2)2x2−y2​=∂y∂P​,
于是由格林公式得

$oint_{L}frac{ydx-xdy}{2(x^2+y^2)}+oint_{l^-}frac{ydx-xdy}{2(x^2+y^2)}=iint_{D}(frac{partial Q}{partial x}-frac{partial P}{partial y})dxdy=0$

∮L​2(x2+y2)ydx−xdy​+∮l−​2(x2+y2)ydx−xdy​=∬D​(∂x∂Q​−∂y∂P​)dxdy=0
从而

$oint_{L}frac{ydx-xdy}{2(x^2+y^2)}=oint_{l^-}frac{ydx-xdy}{2(x^2+y^2)} \ =int_{0}^{2pi}frac{-r^2sin^2t-r^2cos^2t}{2r^2}dt \ =-frac{1}{2}int_{0}^{2pi}dt=-pi.$

∮L​2(x2+y2)ydx−xdy​=∮l−​2(x2+y2)ydx−xdy​=∫02π​2r2−r2sin2t−r2cos2t​dt=−21​∫02π​dt=−π.