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高数打卡11xiezhg5的博客-

26 四月
星期日, 26 四月 2020 18:38 Last Updated on 星期日, 26 四月 2020 18:38 0 Comments

计算下列对坐标的曲面积分：

∬∑zdxdy+xdydz+ydzdxiint_{sum}zdxdy+xdydz+ydzdx


其中
∑sum

是柱面
x2+y2=1x^2+y^2=1

被平面
z=0z=0

及
z=3z=3

所截得的在第一卦限内的部分的前侧；

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由于柱面
x2+y2=1x^2+y^2=1

在
xOyxOy

面上的投影为
0,0,

因此
∬∑zdxdy=0.iint_{sum}zdxdy=0.


又

Dyz={(y,z)∣0≤y≤1,0≤z≤3}Dzx={(x,z)∣0≤z≤3,0≤x≤1}D_{yz}={(y,z)|0leq yleq 1,0leq zleq 3}\ D_{zx}={(x,z)|0leq zleq 3,0leq xleq 1}


因
∑sum

取前侧,故

∬∑zdxdy+xdydz+ydzdx=∬∑xdydz+∬∑ydzdx=∬Dyz1−y2dydz+∬Dzx1−yxdzdx=∫03dz∫011−y2dy+∫03dz∫011−x2dx=32πiint_{sum}zdxdy+xdydz+ydzdx=iint_{sum}xdydz+iint_{sum}ydzdx\ =iint_{D_{yz}}sqrt{1-y^2}dydz+iint_{D_{zx}}sqrt{1-y^x}dzdx\ =int_{0}^{3}dzint_{0}^{1}sqrt{1-y^2}dy+int_{0}^{3}dzint_{0}^{1}sqrt{1-x^2}dx\ =frac{3}{2}pi

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