潜在狄利克雷分配（Latent Dirichlet Allocation，LDA）人工智能Michael是个半路程序员-

潜在狄利克雷分配（latent Dirichlet allocation，LDA），作为基于贝叶斯学习的话题模型，是潜在语义分析、概率潜在语义分析的扩展，于2002年由Blei等提出。LDA在文本数据挖掘、图像处理、生物信息处理等领域被广泛使用。

LDA模型是文本集合的生成概率模型

• 假设每个文本由话题的一个多项分布表示

• 每个话题由单词的一个多项分布表示

• 特别假设文本的话题分布的先验分布是狄利克雷分布

• 话题的单词分布的先验分布也是狄利克雷分布

• 先验分布的导入使LDA能够更好地应对话题模型学习中的过拟合现象

LDA的文本集合的生成过程如下：

• 首先随机生成一个文本的话题分布
• 之后在该文本的每个位置，依据该文本的话题分布随机生成一个话题
• 然后在该位置依据该话题的单词分布随机生成一个单词
• 直至文本的最后一个位置，生成整个文本。重复以上过程生成所有文本

LDA模型是含有隐变量的概率图模型

• 模型中，每个话题的单词分布，每个文本的话题分布，文本的每个位置的话题是隐变量
• 文本的每个位置的单词是观测变量
• LDA模型的学习与推理无法直接求解，通常使用吉布斯抽样（Gibbs sampling）和变分EM算法（variational EM algorithm），前者是蒙特卡罗法，而后者是近似算法

1. 狄利克雷分布

狄利克雷分布（Dirichlet distribution）是一种多元连续随机变量的概率分布，是贝塔分布（beta distribution）的扩展。在贝叶斯学习中，狄利克雷分布常作为多项分布的先验分布使用。

定义：

多元连续随机变量
$theta = (theta_1,theta_2,…,theta_k)$

θ=(θ1​,θ2​,...,θk​) 的概率密度函数为：

$p(theta|alpha) = frac{Gamma bigg(sumlimits_{i=1}^k alpha_ibigg)}{prodlimits_{i=1}^k Gamma(alpha_i)} prodlimits_{i=1}^k theta_i^{alpha_i-1}quad sumlimits_{i=1}^k theta_i = 1, theta_ige 0,alpha_i >0,记作theta sim Dir(alpha)$

p(θ∣α)=i=1∏k​Γ(αi​)Γ(i=1∑k​αi​)​i=1∏k​θiαi​−1​i=1∑k​θi​=1,θi​≥0,αi​>0,记作θ∼Dir(α)

$伽马函数，Gamma(s) = int_0^{infty} x^{s-1}e^{-x}dx, quad s>0$

伽马函数，Γ(s)=∫0∞​xs−1e−xdx,s>0
伽马函数性质：

$Gamma(s+1) = sGamma(s)$

Γ(s+1)=sΓ(s)
当
$s$

s 是自然数时，有
$Gamma(s+1) = s!$

Γ(s+1)=s!

2. 潜在狄利克雷分配模型

LDA模型是概率图模型：

• 特点：以狄利克雷分布为多项分布的先验分布
• 学习：就是给定文本集合，通过后验概率分布的估计，推断模型的所有参数

利用LDA进行话题分析，就是对给定文本集合，学习到每个文本的话题分布，以及每个话题的单词分布。

• 可以认为LDA是PLSA（概率潜在语义分析）的扩展
• 相同点：两者都假设话题是单词的多项分布，文本是话题的多项分布
• 不同点：LDA使用狄利克雷分布作为先验分布，而PLSA不使用先验分布（或者说假设先验分布是均匀分布），两者对文本生成过程有不同假设
• 学习过程：LDA基于贝叶斯学习，而PLSA基于极大似然估计
• LDA的优点是：使用先验概率分布，可以防止学习过程中产生的过拟合（over-fitting）

3. 学习推理

LDA模型的学习与推理不能直接求解。

• 通常采用的方法是吉布斯抽样算法和变分EM算法
• 前者是蒙特卡罗法，而后者是近似算法