1. 配方法

用配方法化二次型为标准形的关键是消去交叉项，分如下两种情况：

• 情形1：如果二次型
  ${f left( xmathop{{}}nolimits_{{1}}text{ },text{ }xmathop{{}}nolimits_{{2}}text{ },text{ }xmathop{{}}nolimits_{{3}}text{ },text{ } cdots text{ },text{ }xmathop{{}}nolimits_{{n}} right) }$

  f(x1​ , x2​ , x3​ , ⋯ , xn​)含某平方项，如 x₁的平方项，且
  ${amathop{{}}nolimits_{{11}}text{ } neq text{ }0}$

  a11​ ​= 0 ， 则合并二次型中含 x₁ 的所有交叉项，然后与 x₁² 配方，并作非退化线性变换为：
  

  
  ${ymathop{{}}nolimits_{{1}}text{ }=text{ }cmathop{{}}nolimits_{{11}}xmathop{{}}nolimits_{{1}}text{ }+text{ }cmathop{{}}nolimits_{{12}}xmathop{{}}nolimits_{{2}}text{ }+text{ } cdots text{ }+text{ }cmathop{{}}nolimits_{{nn}}xmathop{{}}nolimits_{{n}}}\ {ymathop{{}}nolimits_{{2}}text{ }=text{ }xmathop{{}}nolimits_{{2}}}\ { vdots }\ {ymathop{{}}nolimits_{{n}}text{ }=text{ }xmathop{{}}nolimits_{{n}}}$

  y1​ = c11​x1​ + c12​x2​ + ⋯ + cnn​xn​y2​ = x2​⋮yn​ = xn​

• 得
  ${ftext{ }=text{ }dmathop{{}}nolimits_{{1}}ymathop{{}}nolimits_{{1}}mathop{{}}nolimits^{{2}}text{ }+text{ }g left( ymathop{{}}nolimits_{{2}}text{ },text{ } cdots text{ },text{ }ymathop{{}}nolimits_{{n}} right) }$

  f = d1​y1​2 + g(y2​ , ⋯ , yn​) , 其中
  ${g left( ymathop{{}}nolimits_{{2}}text{ },text{ } cdots text{ },text{ }ymathop{{}}nolimits_{{n}} right) }$

  g(y2​ , ⋯ , yn​) 是
  ${ymathop{{}}nolimits_{{2}}text{ },text{ } cdots text{ },text{ }ymathop{{}}nolimits_{{n}}}$

  y2​ , ⋯ , yn​ 的二次型。对于
  ${g left( ymathop{{}}nolimits_{{2}}text{ },text{ } cdots text{ },text{ }ymathop{{}}nolimits_{{n}} right) }$

  g(y2​ , ⋯ , yn​) 重复上述方法，直到化为二次型 f 为标准形为止。

例1：
${f left( xmathop{{}}nolimits_{{1}}text{ },text{ }xmathop{{}}nolimits_{{2}}text{ },text{ }xmathop{{}}nolimits_{{3}}text{ },text{ }xmathop{{}}nolimits_{{4}} right) }$

f(x1​ , x2​ , x3​ , x4​) =
${xmathop{{}}nolimits_{{1}}mathop{{}}nolimits^{{2}}+4xmathop{{}}nolimits_{{1}}xmathop{{}}nolimits_{{2}}-2xmathop{{}}nolimits_{{1}}xmathop{{}}nolimits_{{4}}+3xmathop{{}}nolimits_{{2}}mathop{{}}nolimits^{{2}}-}$

x1​2+4x1​x2​−2x1​x4​+3x2​2−
${2xmathop{{}}nolimits_{{2}}xmathop{{}}nolimits_{{3}}-6xmathop{{}}nolimits_{{2}}xmathop{{}}nolimits_{{4}}+2xmathop{{}}nolimits_{{3}}xmathop{{}}nolimits_{{4}}+4xmathop{{}}nolimits_{{4}}mathop{{}}nolimits^{{2}}}$

2x2​x3​−6x2​x4​+2x3​x4​+4x4​2 用配方法将上式化为标准形，并写出所作的非退化线性变换及其矩阵。

注：此题中它的标准形为
${f=zmathop{{}}nolimits_{{1}}mathop{{}}nolimits^{{2}}-zmathop{{}}nolimits_{{2}}mathop{{}}nolimits^{{2}}+zmathop{{}}nolimits_{{3}}mathop{{}}nolimits^{{2}}}$

f=z1​2−z2​2+z3​2,它还是四元二次型，只是
${zmathop{{}}nolimits_{{4}}mathop{{}}nolimits^{{2}}}$

z4​2的系数为零，所作的线性变换式(2)必须有 y₄ = z₄ 项，否则不是非退化线性变换。

• 情形2：如果二次型
  ${f left( xmathop{{}}nolimits_{{1}}text{ },text{ }xmathop{{}}nolimits_{{2}}text{ },text{ }xmathop{{}}nolimits_{{3}}text{ },text{ } cdots text{ },text{ }xmathop{{}}nolimits_{{n}} right) }$

  f(x1​ , x2​ , x3​ , ⋯ , xn​)不含平方项，即 a_ij=0，但含某一个 a_ij ≠ 0（i ≠ j），则可做非退化线性变换
  

  x_i = y_i + y_j
  x_j = y_i – y_j , (k=1,2,….,n ; k ≠ i , j)
  x_k = y_k

• 把 f 化为一个含有平方项 y_i² 的二次型，再用情形1的方法将其化为标准形。

例2：
${f left( xmathop{{}}nolimits_{{1}}text{ },text{ }xmathop{{}}nolimits_{{2}}text{ },text{ }xmathop{{}}nolimits_{{3}} left) =xmathop{{}}nolimits_{{1}}xmathop{{}}nolimits_{{2}}+xmathop{{}}nolimits_{{1}}xmathop{{}}nolimits_{{3}}+xmathop{{}}nolimits_{{2}}xmathop{{}}nolimits_{{3}}right. right. }$

f(x1​ , x2​ , x3​)=x1​x2​+x1​x3​+x2​x3​,用配方法将此式化为标准形，并写出所用的非退化线性变换。

2. 初等变换法

初等变换法如下：

1. 第一步写出二次型的矩阵 A，并构造 2n×n 矩阵
   ${A choose E}$

   (EA​)

2. 对 A 进行初等行变换和同样的初等列变换（不可交换两行或两列的位置），把A化为对角矩阵D，并对E施行与A相同的初等列变换（切记E并不进行初等行变换），将E化为矩阵C，此时 C’AC = D
3. 第三步写出非退化线性变换 x = Cy，化二次型为标准形 f = y’Dy

补充 ，若第一步构造 n×2n矩阵 (A E)，则第二步将A化为对角矩阵D，并对E施行与A相同的初等行变换 ，将E化为矩阵C，此时C不是我们需要的非退化矩阵！！！对矩阵C进行转置 得到 矩阵F = C’ ，此时矩阵F才是我们求的非退化矩阵！ F’AF = D

例3：用非退化线性替换化
${f left( xmathop{{}}nolimits_{{1}},xmathop{{}}nolimits_{{2}},xmathop{{}}nolimits_{{3}} left) =xmathop{{}}nolimits_{{1}}mathop{{}}nolimits^{{2}}+2xmathop{{}}nolimits_{{1}}xmathop{{}}nolimits_{{2}}+right. right. }$

f(x1​,x2​,x3​)=x1​2+2x1​x2​+
${2xmathop{{}}nolimits_{{2}}mathop{{}}nolimits^{{2}}+4xmathop{{}}nolimits_{{2}}xmathop{{}}nolimits_{{3}}+4xmathop{{}}nolimits_{{3}}mathop{{}}nolimits^{{2}}}$

2x2​2+4x2​x3​+4x3​2 为标准形，并利用矩阵验算所得结果。

3. 正交变换法

主轴定理 ： 任给二次型
${f={mathop{ sum }limits_{{i,j=1}}^{{n}}{amathop{{}}nolimits_{{ij}}xmathop{{}}nolimits_{{i}}xmathop{{}}nolimits_{{j}}text{ } left( amathop{{}}nolimits_{{ij}}=amathop{{}}nolimits_{{ji}} right) }}}$

f=i,j=1∑n​aij​xi​xj​ (aij​=aji​),总有正交变换 x = Py，使 f 化为标准形
${{f= lambda mathop{{}}nolimits_{{1}}ymathop{{}}nolimits_{{1}}mathop{{}}nolimits^{{2}}+ lambda mathop{{}}nolimits_{{2}}ymathop{{}}nolimits_{{2}}mathop{{}}nolimits^{{2}}}+ cdots + lambda mathop{{}}nolimits_{{n}}ymathop{{}}nolimits_{{n}}mathop{{}}nolimits^{{2}}}$

f=λ1​y1​2+λ2​y2​2+⋯+λn​yn​2 ，其中
${ lambda mathop{{}}nolimits_{{1}}, lambda mathop{{}}nolimits_{{2}}, cdots , lambda mathop{{}}nolimits_{{n}}}$

λ1​,λ2​,⋯,λn​ 是矩阵 A = (a_ij) 的特征值

步骤如下：

1. 写出二次型的矩阵 A
2. 求出 A 的特征值，得
   ${ lambda mathop{{}}nolimits_{{1}}, lambda mathop{{}}nolimits_{{2}}, cdots , lambda mathop{{}}nolimits_{{n}}}$

   λ1​,λ2​,⋯,λn​

3. 求出对应的特征向量
4. 将特征向量作施密特正交变换，得到正交的特征向量
5. 将正交的特征向量单位化
6. 将这些单位化向量排成矩阵，得到正交矩阵 Q

例4：用正交变换化二次型为标准形，并求出所用的正交变换
${f left( xmathop{{}}nolimits_{{1}},xmathop{{}}nolimits_{{2}},xmathop{{}}nolimits_{{3}} left) =xmathop{{}}nolimits_{{1}}mathop{{}}nolimits^{{2}}+4xmathop{{}}nolimits_{{2}}mathop{{}}nolimits^{{2}}+xmathop{{}}nolimits_{{3}}mathop{{}}nolimits^{{2}}right. right. }$

f(x1​,x2​,x3​)=x1​2+4x2​2+x3​2
${-4xmathop{{}}nolimits_{{1}}xmathop{{}}nolimits_{{2}}-8xmathop{{}}nolimits_{{1}}xmathop{{}}nolimits_{{3}}-4xmathop{{}}nolimits_{{2}}xmathop{{}}nolimits_{{3}}}$

−4x1​x2​−8x1​x3​−4x2​x3​

4. 偏导数法

例5：将二次型
${f left( xmathop{{}}nolimits_{{1}},xmathop{{}}nolimits_{{2}},xmathop{{}}nolimits_{{3}} left) =-4xmathop{{}}nolimits_{{1}}xmathop{{}}nolimits_{{2}}+2xmathop{{}}nolimits_{{1}}xmathop{{}}nolimits_{{3}}+2xmathop{{}}nolimits_{{2}}xmathop{{}}nolimits_{{3}}right. right. }$

f(x1​,x2​,x3​)=−4x1​x2​+2x1​x3​+2x2​x3​ 化为标准形，并写出所作的非退化线性变换。

5. 顺序主子式法

这种方法限制很大，第一：二次型的前n-1个顺序主子式可能出现0。第二：该方法不能直接算出非退化的变换矩阵。

例6：将二次型
${f left( xmathop{{}}nolimits_{{1}},xmathop{{}}nolimits_{{2}},xmathop{{}}nolimits_{{3}} left) =xmathop{{}}nolimits_{{1}}mathop{{}}nolimits^{{2}}+5xmathop{{}}nolimits_{{1}}xmathop{{}}nolimits_{{2}}-4xmathop{{}}nolimits_{{2}}xmathop{{}}nolimits_{{3}}right. right. }$

f(x1​,x2​,x3​)=x1​2+5x1​x2​−4x2​x3​ 化为标准形。