No.837LeetCode题目“新21点”杨小浩浩的博客-

题目描述

爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏，描述如下：

爱丽丝以0分开始，并在她的得分少于 K分时抽取数字。 抽取时，她从[1, W]的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计，其中W 是整数。 每次抽取都是独立的，其结果具有相同的概率。

当爱丽丝获得不少于K分时，她就停止抽取数字。 爱丽丝的分数不超过N 的概率是多少？

示例 1：

输入：N = 10, K = 1, W = 10
输出：1.00000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。

示例 2：

输入：N = 6, K = 1, W = 10
输出：0.60000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
在 W = 10 的 6 种可能下，她的得分不超过 N = 6 分。

示例 3：

输入：N = 21, K = 17, W = 10
输出：0.73278

提示：

0 <= K <= N <= 10000
1 <= W <= 10000
如果答案与正确答案的误差不超过 10^-5，则该答案将被视为正确答案通过。
此问题的判断限制时间已经减少。

解题思路

本题利用动态规划的思想，令dp[i]表示当手里的数字为i时获胜的概率，本题要求dp[0]。
因为手中牌最大为K+W-1（手中牌为K-1，又抽中了W），因此初始化一个长度为K+W的数组。

• 当手中的牌当N >= i >= K时，游戏结束，获得胜利（返回1）。当i>N时，游戏失败（返回0）。
• 当手中的牌i <= K-1时，dp[i] = (dp[i+1]+...+dp[i+W]) / W。

由于利用循环求和dp[i+1]+...+dp[i+W]时会超出时间限制，因此我们利用窗口效应，设一个变量window来记录当前的dp[i+1]+...+dp[i+W]。i每向前移动一格，窗口也会跟着移动一格。如下图所示：

上图参考：
https://leetcode-cn.com/problems/new-21-game/solution/

具体实现细节详见伪代码。

完整代码

class Solution { public: double new21Game(int N, int K, int W) { //如果K为0，最后肯定可以成功。 if(K == 0){ return 1.0; } //利用动态规划的思想，dp[i]表示当手里的数字为i时获胜的概率，本题要求dp[0]。 //手中牌最大为K+W-1，因此初始化一个长度为K+W的数组。 double dp[K+W]; /*for(int i =0;i<K+W-1;i++){         dp[i] = 0;       }*/ double window = 0.0; //当N>=i>=K时，游戏结束，获得胜利。当i>N时，游戏失败。 for(int i = K;i<K+W;i++){         dp[i] = (i > N) ? 0 : 1.0;         window += dp[i];//利用window值记录这一总和（滑动窗口原理） } //当i<=K-1时，dp[i] = (dp[i+1]+...+dp[i+W])/W for(int i = K-1;i>=0;i--){         dp[i] = window/W;         window += dp[i];         window -= dp[i+W]; } return dp[0]; } }; 

性能结果

个人感悟

做了一些动态规划的题，个人感觉确实是状态转移方程最难写。
有些时候需要求dp[i]，比如No.194 LeetCode题目 “打家劫舍”。
有些时候需要求dp[0]，比如本题。

这两种思路主要是要考虑从前往后计算，还是从后往前计算。
这道题就是要从后往前计算，因为后一状态决定了前一状态。

同时dp[i]这个物理量如何解释也是要思考的问题之一，之后遇到动态规划还要多多练习。