曲线曲率

曲线的曲率(curvature)就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率示，曲线曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。

显示曲线曲率推导过程

设定曲线方程f=y(x)，用s、
$alpha$

α 分别表示弧长和角度，微分定义曲线曲率
${rm{k}} = mathop {lim }limits_{alpha to 0} left| {frac{{Delta alpha }}{{Delta s}}} right|$

k=α→0lim​∣∣∣∣​ΔsΔα​∣∣∣∣​ 因为tan
$alpha$

α=y’，所以
$alpha$

α=arctany’, 则

$dalpha = {left( {arctan y’} right)^prime }dx = frac{{y”}}{{1 + {{y’}^2}}}dx$

dα=(arctany′)′dx=1+y′2y′′​dx
$ds=sqrt{1+{{y’}^2}}$

ds=1+y′2​ 所以可得曲率

$k = frac{y”}{({1+{y’}^2}) ^{frac{3}{2}}} tag{1}$

k=(1+y′2)23​y′′​(1)

隐式曲线曲率推导过程

结合显示曲线曲率的推导公式，对于隐式曲线u(x,y(x))=0，只需要确定y’和y’’，然后讲y’和y’’带入上述曲率公式即可获得曲率公式。
对隐函数两边同时对x求导可得：

$u_x+u_yfrac{dy}{dx}=0$

ux​+uy​dxdy​=0
$frac{dy}{dx}=-frac{u_x}{u_y} tag{2}$

dxdy​=−uy​ux​​(2),对上式两边进一步同时对x求导可得

$frac{d}{dx}(frac{dy}{dx})=-(frac{ (frac{d}{dx}u_x) u_y- (frac{d}{dy}u_y) u_x}{u_y^2})= -(frac{ (u_{xx} +u_{xy}frac{dy}{dx}u_x) u_y- (u_{xy}+u_{yy}frac{dy}{dx}u_y) u_x}{u_y^2}) tag{3}$

dxd​(dxdy​)=−(uy2​(dxd​ux​)uy​−(dyd​uy​)ux​​)=−(uy2​(uxx​+uxy​dxdy​ux​)uy​−(uxy​+uyy​dxdy​uy​)ux​​)(3)

将公式(2)以及公式(3)进一步带入显示曲线曲率公式即公式(1)可求得：
$k=frac {u_y^2u_{xx}+u_x^2u_{yy}-2u_xu_yu_xy} {(u_x^2+u_y^2)^frac{3}{2}} tag{4}$

k=(ux2​+uy2​)23​uy2​uxx​+ux2​uyy​−2ux​uy​ux​y​(4)