宇宙狗的危机（区间dp）龙征天的博客-

问题描述

在瑞神大战宇宙射线中我们了解到了宇宙狗的厉害之处，虽然宇宙狗凶神恶煞，但是宇宙狗有一个很可爱的女朋友。

最近，他的女朋友得到了一些数，同时，她还很喜欢树，所以她打算把得到的数拼成一颗树。

这一天，她快拼完了，同时她和好友相约假期出去玩。贪吃的宇宙狗不小心把树的树枝都吃掉了。所以恐惧包围了宇宙狗，他现在要恢复整棵树，但是它只知道这棵树是一颗二叉搜索树，同时任意树边相连的两个节点的gcd(greatest common divisor)都超过1。

但是宇宙狗只会发射宇宙射线，他来请求你的帮助，问你能否帮他解决这个问题。

补充知识：

GCD：最大公约数，两个或多个整数共有约数中最大的一个 ，例如8和6的最大公约数是2。

一个简短的用辗转相除法求gcd的例子：

int gcd(int a,int b){return b == 0 ? a : gcd(b,a%b);} 

Input

输入第一行一个t，表示数据组数。

对于每组数据，第一行输入一个n，表示数的个数

接下来一行有n个数​，输入保证是升序的。

Output

每组数据输出一行，如果能够造出来满足题目描述的树，输出Yes，否则输出No。

无行末空格。

Sample input & output

Sample input1

1 6 3 6 9 18 36 108 

Sample output1

Yes 

Sample input2

2 2 7 17 9 4 8 10 12 15 18 33 44 81 

Sample output2

No Yes 

数据范围

提示

第一个样例可以构建下图所示的二叉搜索树

解题思路

这道题开始没想到用区间dp来做，想了一个自己认为“绝妙的方法”。利用栈来维护一条主链，方法就不说了，毕竟结果炸了。这个方法挺“绝命的”，样例全过，直接0分。

二叉搜索树具有明显的子结构特性，这个题虽然要构成一个二叉树，但是给出的是一个区间，因此这个题还是要用区间dp来做的，树的结构不能丢，我们定义两个数组：
$l[i][j],r[i][j]$

l[i][j],r[i][j]分别表示以
$i$

i为根，向左到
$j$

j可以作为
$i$

i的左子树，向右到
$j$

j可以作为
$i$

i的右子树。树结构非常重要，虽然是区间dp，但是这个结果要构成一个二叉搜索树，因此必须有这两个数组。

然后用
$dp[i][j]$

dp[i][j]表示
$isim j$

i∼j能构成一棵树。函数最后返回
$dp[1][n]$

dp[1][n]。（我以前尝试过直接
$dp[i][j]$

dp[i][j]表示
$isim j$

i∼j能构成一棵树，然后拼接用
$dp[i][k],dp[k][j]$

dp[i][k],dp[k][j]拼接，这样错的原因是，
$dp[i][k]$

dp[i][k]能够构成一棵树，不一定表示左子树，
$dp[k][j]$

dp[k][j]能够构成一棵树，不一定表示右子树，那么就不一定能拼接起来。2，3，5，30这样四个节点数据就可以卡死。）

当
$l[k][i]==r[k][j]==true$

l[k][i]==r[k][j]==true时，
$dp[i][j]=true$

dp[i][j]=true，此时
$isim j$

i∼j是以
$k$

k为根的二叉搜索树。

状态转移是每次转移一个点，在
$dp[i][j]=true$

dp[i][j]=true的情况下：

$l[j+1][i]hspace{3pt}|=gcd(a[j+1],a[k]),(ile kle j)\ quad\ r[i-1][j]hspace{3pt}|=gcd(a[i-1],a[k]),(ile kle j)$

l[j+1][i]∣=gcd(a[j+1],a[k]),(i≤k≤j)r[i−1][j]∣=gcd(a[i−1],a[k]),(i≤k≤j)
转移方程为什么这么写呢，先看第一个方程，首先这个时候我们已经保证了从
$i$

i到
$j$

j这段区间可以构成一棵二叉搜索树，并且根节点是
$k$

k，注意这个根节点很重要。如果说
$gcd(a[j+1],a[k])>1$

gcd(a[j+1],a[k])>1了，那么二者之间就可以连边，并且注意
$l$

l数组的定义：表示以
$i$

i为根，向左到
$j$

j可以作为
$i$

i的左子树，那么
$a[j+1]$

a[j+1]的左儿子就是
$a[k]$

a[k]了。在枚举
$k$

k的过程中，只要有一次可以连边，那么
$l[j+1][i]=true$

l[j+1][i]=true。所以中间使用的是
$|=$

∣=符号。第二个方程同理。

完整代码

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cmath> #include <cstring> #include <string> #include <algorithm> using namespace std; const int maxn=700+100; int t,n,a[maxn]; bool dp[maxn][maxn],g[maxn][maxn],l[maxn][maxn],r[maxn][maxn]; int gcd(int _a,int _b) {return _b==0? _a: gcd(_b,_a%_b);} void init(){ memset(l,false,sizeof(l)); memset(r,false,sizeof(r)); memset(dp,false,sizeof(dp)); for (int i=1; i<=n; i++) {         l[i][i]=r[i][i]=dp[i][i]=true; for (int j=1; j<=n; j++)             g[i][j]=gcd(a[i],a[j])>1; } } bool IsBinarySearchTree(){ for (int len=1; len<=n; len++){ for (int i=1; i<=n-len+1; i++){ int j=i+len-1; for (int k=i; k<=j; k++){ if(l[k][i] && r[k][j]){                     dp[i][j]=true;                     l[j+1][i]|=g[j+1][k];                     r[i-1][j]|=g[i-1][k]; } } } } return dp[1][n]; } int main(){ scanf("%d",&t); while(t--){ scanf("%d",&n); for (int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&a[i]); init(); if(IsBinarySearchTree()) printf("Yesn"); else printf("Non"); } return 0; }