第10章 树结构实际应用

本章源码：https://github.com/name365/Java-Data-structure

堆排序

大顶堆和小顶堆图解说明

堆排序基本介绍

1.堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏，最好，平均时间复杂度均为O(nlogn)，它也是不稳定排序。 2.堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆, 注意 : 没有要求结点的左孩子的值和右孩子的值的大小关系。 3.每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆 4.大顶堆举例说明 

对堆中的结点按层进行编号，映射到数组中就是下面这个样子:

大顶堆特点：arr[i] >= arr[2*i+1] && arr[i] >= arr[2*i+2] // i 对应第几个节点，i从0开始编号7 

• 小顶堆举例说明

小顶堆：arr[i] <= arr[2*i+1] && arr[i] <= arr[2*i+2] // i 对应第几个节点，i从0开始编号 

综上：一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆

堆排序的思路图解与实现

堆排序基本思想

1.将待排序序列构造成一个大顶堆 2.此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。 3.将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。 4.然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了。  可以看到在构建大顶堆的过程中，元素的个数逐渐减少，最后就得到一个有序序列了. 

要求:给你一个数组 {4,6,8,5,9} , 要求使用堆排序法，将数组升序排序。

堆排序步骤图解说明:

步骤一:构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆（一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。原始的数组[4,6,8,5,9]

• 假设给定无序序列结构如下 :

• 此时我们从最后一个非叶子结点开始（叶结点自然不用调整，第一个非叶子结点arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6结点），从左至右，从下至上进行调整。

• 找到第二个非叶节点4，由于[4,9,8]中9元素最大，4和9交换。

• 这时，交换导致了子根[4,5,6]结构混乱，继续调整，[4,5,6]中6最大，交换4和6。

• 此时，就将一个无序序列构造成了一个大顶堆。

步骤二:将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换,得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。

• 将堆顶元素9和末尾元素4进行交换 。

• 重新调整结构，使其继续满足堆定义。

• 再将堆顶元素 8 与末尾元素 5 进行交换，得到第二大元素 8。

• 后续过程，继续进行调整，交换，如此反复进行，最终使得整个序列有序。

对上述思路进行总结: 1.将无序序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆; 2.将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素"沉"到数组末端; 3.重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤， 直到整个序列有序。 

核心代码说明:

public static void adHeap(int arr[],int i,int length){ int temp = arr[i]; //先取出当前元素的值,保存在临时变量 //说明: //1. j = i * 2 + 1 j 是 i结点的左子结点 for(int j = i * 2 + 1;j < length;j = j * 2 + 1){ if(j+1 < length && arr[j] < arr[j+1]){ //说明左子节点的值小于右子节点的值     j++; //j指向右子节点 } if(arr[j] > temp){ //如果子节点大于父结点     arr[i] = arr[j]; //将较大的值赋给当前节点     i = j; //让i指向j,继续循环 }else{ break; } //当for 循环结束后,已经将以 i 为父结点的树的最大值,放在了最顶(局部)    arr[i] = temp; //将temp值放到调整后的位置 } } 

初始情况:

arr = {4,6,8,5,9}

当 i = 1 时:

首先，当temp=arr[i] ==> temp=6;进入for循环，j=i*2+1 ==> j=3,

进入if判断，执行j++,即j指向右子节点，j=4；

arr[j] ==> arr[4] 即: arr[j]为9，

此时，arr[j] > temp ==> 9 > 6，进入判断

此时，子节点大于父节点，

而此时 i=1，j=4，即arr[i]=arr[j]进行赋值，arr[i] = arr[j] ==> arr[1]=9，将6替换成9。

i=j ==> i=4 ,继续让i指向j,因为节点可能下面还有节点，继续执行循环.

但此时 j=4 ,经过循环赋值语句，j=9,temp=6，不符合判断条件，直接执行 arr[i] = temp ==> arr[4]=6;

上述过程代码化实现：

import java.util.Arrays; public class HeapSort { public static void main(String[] args) { //要求:将数组进行升序排序 int arr[] = {4,6,8,5,9}; headSort(arr); } //编写一个堆排序的方法 public static void headSort(int arr[]){   System.out.println("堆排序:"); //分布完成 adHeap(arr,1,arr.length);   System.out.println("第一次:" + Arrays.toString(arr)); //4,9,8,5,6 adHeap(arr,0,arr.length);   System.out.println("第二次:" + Arrays.toString(arr)); //9,6,8,5,4 } //将一个数组(二叉树),调整成一个大顶堆 /**    * 功能: 完成 将 以 i 对应的非叶子结点的树调整成大顶堆    * 举例: int arr[] = {4, 6, 8, 5, 9}; => i = 1 => adHeap => 得到 {4, 9, 8, 5, 6}    * 如果我们再次调用  adHeap 传入的是 i = 0 => 得到 {4, 9, 8, 5, 6} => {9,6,8,5,4}    * @Description     * @author subei    * @date 2020年6月8日上午10:29:31    * @param arr 待调整的数组    * @param i 非叶子结点的索引    * @param length 表示对多少个元素进行调整   */ public static void adHeap(int arr[],int i,int length){ int temp = arr[i]; //先取出当前元素的值,保存在临时变量 //说明: //1. j = i * 2 + 1 j 是 i结点的左子结点 for(int j = i * 2 + 1;j < length;j = j * 2 + 1){ if(j+1 < length && arr[j] < arr[j+1]){ //说明左子节点的值小于右子节点的值     j++; //j指向右子节点 } if(arr[j] > temp){ //如果子节点大于父结点     arr[i] = arr[j]; //将较大的值赋给当前节点     i = j; //让i指向j,继续循环 }else{ break; } //当for 循环结束后,已经将以 i 为父结点的树的最大值,放在了最顶(局部)    arr[i] = temp; //将temp值放到调整后的位置 } } } 

最终完整代码实现如下:

import java.util.Arrays; public class HeapSort2 { public static void main(String[] args) { //要求:将数组进行升序排序 int arr[] = {4,6,8,5,9}; headSort(arr); } //编写一个堆排序的方法 public static void headSort(int arr[]){   System.out.println("堆排序:"); int temp = 0; //完成我们最终代码 //1.将无序序列构建成一个堆,根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆 for(int i=arr.length / 2 - 1;i >= 0;i--){ adHeap(arr,i,arr.length); }   System.out.println("步骤一的数组排序结果=" + Arrays.toString(arr)); //2.将堆顶元素与末尾元素交换,将最大元素"沉"到数组末端; //3.重新调整结构,使其满足堆定义,然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素,反复执行调整+交换步骤,直到整个序列有序。 for(int j=arr.length - 1;j >0 ;j--){ //交换    temp=arr[j];    arr[j]=arr[0];    arr[0]=temp; adHeap(arr, 0, j); }   System.out.println("最后的数组排序结果=" + Arrays.toString(arr)); } //将一个数组(二叉树),调整成一个大顶堆 /**    * 功能: 完成 将 以 i 对应的非叶子结点的树调整成大顶堆    * 举例: int arr[] = {4, 6, 8, 5, 9}; => i = 1 => adHeap => 得到 {4, 9, 8, 5, 6}    * 如果我们再次调用  adHeap 传入的是 i = 0 => 得到 {4, 9, 8, 5, 6} => {9,6,8,5,4}    * @Description     * @author subei    * @date 2020年6月8日上午10:29:31    * @param arr 待调整的数组    * @param i 非叶子结点的索引    * @param length 表示对多少个元素进行调整   */ public static void adHeap(int arr[],int i,int length){ int temp = arr[i]; //先取出当前元素的值,保存在临时变量 //说明: //1. j = i * 2 + 1 j 是 i结点的左子结点 for(int j = i * 2 + 1;j < length;j = j * 2 + 1){ if(j+1 < length && arr[j] < arr[j+1]){ //说明左子节点的值小于右子节点的值     j++; //j指向右子节点 } if(arr[j] > temp){ //如果子节点大于父结点     arr[i] = arr[j]; //将较大的值赋给当前节点     i = j; //让i指向j,继续循环 }else{ break; } //当for 循环结束后,已经将以 i 为父结点的树的最大值,放在了最顶(局部)    arr[i] = temp; //将temp值放到调整后的位置 } } } 

对上述堆排序进行速度测试：

import java.text.SimpleDateFormat; import java.util.Date; public class HeapSort2 { public static void main(String[] args) { //要求:将数组进行升序排序 //创建要给80000个的随机的数组 int[] arr = new int[8000000]; for (int i = 0; i < 8000000; i++) {    arr[i] = (int) (Math.random() * 8000000); // 生成一个[0, 8000000) 数 }    System.out.println("排序前");   Date data1 = new Date();   SimpleDateFormat simpleDateFormat = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss");   String date1Str = simpleDateFormat.format(data1);   System.out.println("排序前的时间是=" + date1Str); headSort(arr);      Date data2 = new Date();   String date2Str = simpleDateFormat.format(data2);   System.out.println("排序后的时间是=" + date2Str); } //编写一个堆排序的方法 public static void headSort(int arr[]){   System.out.println("堆排序:"); int temp = 0; //完成我们最终代码 //1.将无序序列构建成一个堆,根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆 for(int i=arr.length / 2 - 1;i >= 0;i--){ adHeap(arr,i,arr.length); } //2.将堆顶元素与末尾元素交换,将最大元素"沉"到数组末端; //3.重新调整结构,使其满足堆定义,然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素,反复执行调整+交换步骤,直到整个序列有序。 for(int j=arr.length - 1;j >0 ;j--){ //交换    temp=arr[j];    arr[j]=arr[0];    arr[0]=temp; adHeap(arr, 0, j); } } //将一个数组(二叉树),调整成一个大顶堆 /**    * 功能: 完成 将 以 i 对应的非叶子结点的树调整成大顶堆    * 举例: int arr[] = {4, 6, 8, 5, 9}; => i = 1 => adHeap => 得到 {4, 9, 8, 5, 6}    * 如果我们再次调用  adHeap 传入的是 i = 0 => 得到 {4, 9, 8, 5, 6} => {9,6,8,5,4}    * @Description     * @author subei    * @date 2020年6月8日上午10:29:31    * @param arr 待调整的数组    * @param i 非叶子结点的索引    * @param length 表示对多少个元素进行调整   */ public static void adHeap(int arr[],int i,int length){ int temp = arr[i]; //先取出当前元素的值,保存在临时变量 //说明: //1. j = i * 2 + 1 j 是 i结点的左子结点 for(int j = i * 2 + 1;j < length;j = j * 2 + 1){ if(j+1 < length && arr[j] < arr[j+1]){ //说明左子节点的值小于右子节点的值     j++; //j指向右子节点 } if(arr[j] > temp){ //如果子节点大于父结点     arr[i] = arr[j]; //将较大的值赋给当前节点     i = j; //让i指向j,继续循环 }else{ break; } //当for 循环结束后,已经将以 i 为父结点的树的最大值,放在了最顶(局部)    arr[i] = temp; //将temp值放到调整后的位置 } } } 

赫夫曼树

赫夫曼树的基本介绍

给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度(wpl)达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree), 还有的书翻译为霍夫曼树。  赫夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近。 

赫夫曼树几个重要概念和举例:

1.路径和路径长度：在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1 2.结点的权及带权路径长度：若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积 

3.树的带权路径长度：树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL(weighted path length) ,权值越大的结点离根结点越近的二叉树才是最优二叉树。 4.WPL最小的就是赫夫曼树 

赫夫曼树创建步骤图解与实现

要求:给你一个数列 {13, 7, 8, 3, 29, 6, 1}，要求转成一颗赫夫曼树.

构成赫夫曼树的步骤：

1. 从小到大进行排序, 将每一个数据，每个数据都是一个节点 ， 每个节点可以看成是一颗最简单的二叉树

2. 取出根节点权值最小的两颗二叉树

3. 组成一颗新的二叉树, 该新的二叉树的根节点的权值是前面两颗二叉树根节点权值的和

4. 再将这颗新的二叉树，以根节点的权值大小 再次排序， 不断重复 1-2-3-4 的步骤，直到数列中，所有的数据都被处理，就得到一颗赫夫曼树

赫夫曼树创建代码实现

import java.util.ArrayList; import java.util.Collections; import java.util.List; public class HuffTreeTest { public static void main(String[] args) { int arr[] = { 13, 7, 8, 3, 29, 6, 1 };   Node root = creatHFTree(arr); preOrder(root); } // 前序遍历方法 public static void preOrder(Node root) { if (root != null) {    root.preOrder(); } else {    System.out.println("这是一个空树。无法遍历"); } } // 创建赫夫曼树的方法 public static Node creatHFTree(int[] arr) { // 第一步,为了操作方法 // 1.遍历 arr 数组 // 2.将arr的每个元素构成一个Node // 3.将Node 放入到ArrayList中   List<Node> nodes = new ArrayList<Node>(); for (int value : arr) {    nodes.add(new Node(value)); } // int count = 0; //统计处理次数 // 处理的过程是循环的过程 while (nodes.size() > 1) { // 排序:从小到大排序    Collections.sort(nodes); // System.out.println("第" + count + "次排序后的结果:nodes = " + nodes); // 取出根节点权值最小的两颗二叉树 // (1)取出权值最小的结点(二叉树)    Node leftNode = nodes.get(0); // (1)取出权值另一个最小的结点(二叉树)    Node rightNode = nodes.get(1); // (3)构建一个新的二叉树    Node parents = new Node(leftNode.value + rightNode.value);    parents.left = leftNode;    parents.right = rightNode; // (4)从ArrayList删除处理过的二叉树    nodes.remove(leftNode);    nodes.remove(rightNode); // (5)将parent加入到nodes    nodes.add(parents); // count++; // System.out.println("第" + count + "次处理后的结果:" + nodes); } // 返回赫夫曼树的root结点 return nodes.get(0); } } // 创建结点类 // 为了让Node 对象持续排序Collections集合排序 // 让Node 实现Comparable接口 class Node implements Comparable<Node> { int value; // 结点权值  Node left; // 指向左子结点  Node right; // 指向右子结点 public Node(int value) { this.value = value; } @Override public String toString() { return "Node [value=" + value + "]"; } @Override public int compareTo(Node o) { // 表示从小到大排序 return this.value - o.value; } // 前序遍历 public void preOrder() { // 当前结点   System.out.println(this); // 左子结点 if (this.left != null) { this.left.preOrder(); } // 右子结点 if (this.right != null) { this.right.preOrder(); } } }