树与二叉树

在了解二叉树之前，我们要先了解树的一些概念，方便我们对二叉树的理解。

什么是树？

树(英语:tree)是一种抽象数据类型(ADT)或是实作这种抽象数据类型的数据结构,用来模拟具有树状结构性质的数据集合。

它是由n(n>=1)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。它具有以下的特点:

1. 每个节点有零个或多个子节点;
2. 没有父节点的节点称为根节点;
3. 每一个非根节点有且只有一个父节点;
4. 除了根节点外,每个子节点可以分为多个不相交的子树;

树的术语：

节点的度: 一个节点含有的子树的个数称为该节点的度;
树的度: 一棵树中,最大的节点的度称为树的度;
根结点： 树的最顶端的节点，继续往下分为子节点
父节点： 子节点的上一层为父节点
兄弟节点： 具有同一个父节点的节点称为兄弟节点
叶子节点/终端节点： 不再有子节点的节点为叶子节点

二叉树：

二叉树是树的特殊一种，具有如下特点：

1. 每个节点最多有两个子树，节点的度最大为2
2. 左子树和右子树是有顺序的，次序不能颠倒
3. 即是某节点只有一个子树，也要区分左右子树

二叉树的性质：

1. 在非空二叉树的第i层，最多有2^i-1个节点(i>=1)
2. 在深度为K的二叉树上最多有2^k-1个节点(k>.1)
3. 对于任意一个非空的二叉树，如果叶子节点个数为n₀，度数为2的节点数为n₂，则有n₀=n₂+1
   推倒过程：在一棵二叉树中，除了叶子节点（度为0）外，就剩下度为2(n₂)和度为1(n₁)的节点了。则树的节点总数为T = n₀ + n₁ + n₂；在二叉树中节点总数为T，而连线总数为T-1 = 2*n₂ + n₁，所以就有：n₀ + n₁ + n₂ – 1 = 2 *n₂ + n₁，得到n₀=n₂+1。

特殊的二叉树

满二叉树

在二叉树中除了叶子节点，其他所有节点的度为2，且所有的叶子节点都在同一层上，这样的二叉树成为满二叉树。

满二叉树的特点：

1. 叶子节点只能出现在最下一层
2. 非叶子节点度数一定为2
3. 在同样深度的二叉树中，满二叉树的节点个数最多，叶子节点数最多

完全二叉树

如果二叉树中除去最后一层叶子节点后为满二叉树，且最后一层的叶子节点依次从左到右分布，则这样的二叉树称为完全二叉树

完全二叉树的特点：

1. 叶子节点一般出现在最下一层，如果倒数第二层出现叶子节点，一定出现在右部连续位置
2. 最下层叶子节点一定集中在左部连续位置
3. 同样节点的二叉树，完全二叉树的深度最小（满二叉树也对）

小例题：
某完全二叉树共有200个节点，该二叉树中共有（）个叶子节点？

解：n₀ + n₁ + n₂ = 200， 其中n₀ = n₂ + 1，n₁ = 0或者1 （n₁=1，出现在最下一层节点数为奇数，最下一层节点数为偶数，则n₁=0）， 因为n₀为整数，所以最后算得n₀ = 100。

完全二叉树的性质：

1. 具有n个节点的完全二叉树的深度为log₂n+1。log₂n结果取整数部分。
2. 如果有一棵有n个节点的完全二叉树的节点按层次序编号，对任一层的节点i(1 <= i <= n)
   1. 如果i=1，则节点是二叉树的根，无父节点，如果i>1,则其父节点为i/2，向下取整
   2. 如果2*1>n，那么节点i没有左孩子，否则其左孩子为2i
   3. 如果2i+1>n那么节点没有右孩子，否则右孩子为2i+1
   

验证：

第一条：
当i=1时，为根节点。当i>1时，比如结点为7，他的双亲就是7/2= 3；结点9双亲为4.

第二条：
结点6,62 = 12>10，所以结点6无左孩子，是叶子结点。结点5，52 = 10，左孩子是10,结点4，为8.

第三条：
结点5，2*5+1>10,没有右孩子，结点4，则有右孩子。

树的存储、表示与遍历

树的存储与表示

顺序存储:将数据结构存储在固定的数组中,然在遍历速度上有一定的优势,但因所占空间比较大,是非主流二叉树。二叉树通常以链式存储。

某个节点为空是用0表示。

节点的结构：

二叉树的建立

class Node(object): """二叉树节点的封装""" def __init__(self, element=None, lchild=None, rchild=None):         self.element = element         self.lchild = lchild         self.rchild = rchild   class Tree(object): """二叉树的封装""" def __init__(self, root=None):         self.root = root      def __add__(self, element): # 插入节点的封装         node = Node(element) # 1.判断是否为空，则对根结点进行赋值 if not self.root:             self.root = node         # 2. 如果存在跟结点，将根结点放入队列 else:             queue = [] # 将根结点放入队列中             queue.append(self.root) # 对队列中的所有节点进行遍历 # 这里的循环每次都是从根结点往下循环的 while queue: # 3.弹出队列中的第一个元素(第一次弹出的为根节点，然后是根的左节点，根的右节点，依次类推)                 cur = queue.pop(0) if not cur.lchild:                     cur.lchild = node                     return elif not cur.rchild:                     cur.rchild = node                     return else: # 左右子树都存在就将左右子树添加到队列中去                     queue.append(cur.lchild)                     queue.append(cur.rchild) 

二叉树的遍历

遍历是指对树中所有结点的信息的访问,即依次对树中每个结点访问一次且仅访问一次,我们把这种对所有节点的访问称为遍历(traversal)

广度优先遍历（层次遍历）

遍历结果为1，2，3，4，5，6，7

 def breadth_travel(self): """利用队列实现树的层次遍历""" if self.root == None: return # 将二叉树的节点依次放入队列中，通过访问队列的形式实现树的遍历         queue = []         queue.append(self.root) while queue:             node = queue.pop(0) print(node.element, end=',') if node.lchild != None:                 queue.append(node.lchild) if node.rchild != None:                 queue.append(node.rchild) print() 

深度优先遍历

深度优先遍历有三种方式：

先序遍历（根->左->右）：先访问根结点，再先序遍历左子树，最后再先序遍历右子树，

中序遍历（左->根->右）：先中序遍历左子树，然后再访问根结点，最后再中序遍历右子树，

后序遍历（左->右->根）：先后序遍历左子树，然后再后序遍历右子树，最后再访问根结点。
先序遍历： 1 2 4 5 3 6 7

中序遍历： 4 2 5 1 6 3 7

后序遍历： 4 5 2 6 7 3 1

递归实现先序遍历

 # 深度优先遍历：先序遍历---根 左 右 def preorder(self, root): """递归实现先序遍历""" if not root: return print(root.element, end=',')         self.preorder(root.lchild)         self.preorder(root.rchild) 

递归实现中序遍历

 # 深度优先遍历：中序遍历---左 根 右 def inorder(self, root): """递归实现中序遍历""" if not root: return         self.inorder(root.lchild) print(root.element, end=',')         self.inorder(root.rchild) 

递归实现后序遍历

 # 深度优先遍历：后序遍历---左 右 根 def postorder(self, root): """递归实现后序遍历""" if not root: return         self.postorder(root.lchild)         self.postorder(root.rchild) print(root.element, end=',') 

测试代码：

if __name__ == '__main__':     binaryTree = Tree() for i in range(7):         binaryTree.__add__(i+1) # 广度优先遍历 print("广度优先：")     binaryTree.breadth_travel() # 深度优先，先序遍历     root = binaryTree.root     binaryTree.preorder(root) print('深度优先--先序遍历')      binaryTree.inorder(root) print('深度优先--中序遍历')      binaryTree.postorder(root) print('深度优先--后序遍历') 

广度优先： 1,2,3,4,5,6,7, 1,2,4,5,3,6,7,深度优先--先序遍历 4,2,5,1,6,3,7,深度优先--中序遍历 4,5,2,6,7,3,1,深度优先--后序遍历 

和我们预期的结果完全相同。