跳石板

一、题目描述

小易来到了一条石板路前，每块石板上从1挨着编号为：1、2、3…
这条石板路要根据特殊的规则才能前进：对于小易当前所在的编号为K的 石板，小易单次只能往前跳K的一个约数(不含1和K)步，即跳到K+X(X为K的一个非1和本身的约数)的位置。 小易当前处在编号为N的石板，他想跳到编号恰好为M的石板去，小易想知道最少需要跳跃几次可以到达。

例如： N = 4，M = 24： 4->6->8->12->18->24 于是小易最少需要跳跃5次，就可以从4号石板跳到24号石板 

• 输入描述:

输入为一行，有两个整数N，M，以空格隔开。 (4 ≤ N ≤ 100000) (N ≤ M ≤ 100000) 

• 输出描述:

输出小易最少需要跳跃的步数,如果不能到达输出-1 示例1 输入 4 24 输出 5 

二、分析

• 这道题如果用暴力求解方法会超时，
• 所以这道题可以用动态规划来求解，对于动态规划来说，主要就是那几个：[状态][选择][状态转移方程]
• 对于这道题来说，状态显然就是当前所在的位置N，选择就是除1和N外的所有因子
• 状态选择有了就可以定义dp数组的含义：dp[i]代表从N到i的最少移动步数，base case就是dp[N] = 0
• 接下来就是动规的重要一步，找出状态转移方程，这道题和其他动规不同的是无法明确的知道’上一个‘状态是什么？所以这里我们需要根据N的因子来决定；
• 对于dp[N] 遍历N的因子(sub[i-j]) ，dp[N+sub[i-j]]即为可到达且从N一步到达，这里dp[N+sub[i-j]]和dp[N]+1取最小值即可。
• 所以状态转移方程：dp[i+sub[j]]=min(dp[i+sub[j]],dp[i]+1)
• 到这里大问题就解决了，还有很多细节问题，比如如果所有的i + sub[j]都不等于M怎么办，即无法从N走到M怎么表示，所以这里在初始化dp数组时需要一个特殊值

三、代码

//闲着没事不要跳石板了，谢谢 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; //在求因子的时候要注意同时求除数和被除数，否则会超时 void getsub(vector<int>&sub,int num) {     sub.clear(); for(int i = 2;i * i <= num;++i) { //除数 if(num % i == 0) {             sub.push_back(i); //被除数 if(i != num / i)                 sub.push_back(num / i); } } } int main() { int N,M;     cin>>N>>M; //保存因子     vector<int>sub; //初始化dp数组为INT_MAX，最后用来区分     vector<int>dp(M+1,INT_MAX); //base case     dp[N]=0; //构造dp矩阵 for(int i = N;i <= M;++i) { //代表这条路行不通，没有到达i的方案，判断下一个N if(dp[i] == INT_MAX) continue; //获取因子 getsub(sub,i); for(int j = 0;j < sub.size();++j) { if(i + sub[j] <= M) //跳到的下一个位置肯定是当前位置+因子， //那么dp[下一个位置] = dp[当前位置 + 因子] = dp[当前位置] + 1 //因为可能不只一次到达，所以求min                 dp[i + sub[j]] = min(dp[i + sub[j]],dp[i] + 1); } } //初始化的作用 if(dp[M] == INT_MAX)         cout<<-1<<endl; else         cout<<dp[M]; return 0; } 

• 另一种写法

#include <iostream> #include <vector> #include <climits> #include <cmath> #include <algorithm> using namespace std; int main() { int N,M; while(cin>>N>>M) {         vector<int> steps(M + 1,INT_MAX);         steps[N] = 0; for(int i = N;i <= M;i++) { if(steps[i] == INT_MAX) { continue; } for(int j = 2;(j * j) <= i;j++) { if(i % j == 0) { if(i + j <= M) {                         steps[i + j] = min(steps[i] + 1,steps[i + j]); } if(i + (i / j) <= M) {                         steps[i + (i / j)] = min(steps[i] + 1,steps[i + (i / j)]); } } } } if(steps[M] == INT_MAX){             steps[M] = -1; }         cout<<steps[M]<<endl; } return 0; }